The height of: 〜の極み

X の極み refers to the highest degree of X, its peak. It's used with nouns, positive or negative: ぜいたくの極み (the height of luxury), 美の極み, 洗練の極み, 痛恨の極み (the bitterest regret), 疲労の極み (utter exhaustion). Formal, written register: speeches, reviews, sports commentary.

• 一流シェフの料理を自宅で味わうなんて、ぜいたくの極みだ。いちりゅうシェフのりょうりをじたくであじわうなんて、ぜいたくのきわみだ。Enjoying a top chef's cooking at home — that's the height of luxury.
• 最後の最後で逆転負けを喫したのは、痛恨の極みです。さいごのさいごでぎゃくてんまけをきっしたのは、つうこんのきわみです。Being overtaken at the very last moment is the bitterest of regrets.
• 三日間ほとんど眠らず、疲労の極みに達していた。みっかかんほとんどねむらず、ひろうのきわみにたっしていた。After three days with almost no sleep, I'd reached utter exhaustion.

極み is the noun from 極める (“to take to the limit”). X の極み = “the extreme point of X”. It can be used for an admirable summit (美, 洗練, ぜいたく) as well as a depth (痛恨, 疲労, 無責任).

• この料理はぜいたくの極みだ。このりょうりはぜいたくのきわみだ。This dish is the height of luxury.
• この庭園は、日本の美意識の極みと言えるだろう。このていえんは、にほんのびいしきのきわみといえるだろう。This garden is surely the epitome of the Japanese aesthetic sense.

の極み always follows a noun (often Sino-Japanese). You find it at the end of a sentence (〜の極みだ), with a verb (〜の極みに達する) or before a noun.

• 国民の不安を放置するとは、無責任の極みだ。こくみんのふあんをほうちするとは、むせきにんのきわみだ。Ignoring the public's anxiety is the height of irresponsibility.

Unlike 極まりない, which is almost always critical, の極み works both ways. The tone is formal: you find it in speeches (痛恨の極みでございます), editorials, art and sports commentary.

• 多くの犠牲者を出したことは、痛恨の極みでございます。おおくのぎせいしゃをだしたことは、つうこんのきわみでございます。That there should be so many victims is a source of the deepest regret.

の至り is limited to a few formulas of polite emotion (光栄の至り). 極まりない follows a な-adjective and criticises. この上ない is used with an adjective or a noun, positive or negative. の極み follows a noun and refers to a peak, admirable or terrible.

• 皆様にお祝いしていただき、この上ない喜びです。みなさまにおいわいしていただき、このうえないよろこびです。Being congratulated by you all is the greatest of joys.