Without doing, for lack of: 〜ないで・〜なくて

The two negative て-forms aren't interchangeable. 〜ないで says how you do the action: “without” or “instead of” (朝ご飯を 食べないで 来た). 〜なくて gives a negative cause followed by a feeling or a state (バスが 来なくて、困った).

• 朝ご飯を 食べないで 学校に 来ました。あさごはんを たべないで がっこうに きました。I came to school without having breakfast.
• バスに 乗らないで、駅まで 歩きました。ばすに のらないで、えきまで あるきました。Instead of taking the bus, I walked to the station.
• バスが 来なくて、困りました。ばすが こなくて、こまりました。The bus didn't come, and I was stuck.

The ない-form has two ways of “going into て”. ないで describes manner: you do a main action without doing the other, or in place of it — English “without …ing” or “instead of …ing”. なくて explains: because something didn't happen, you feel something or end up in a certain state — English “because… didn't”.

• さとうを 入れないで コーヒーを 飲みます。さとうを いれないで こーひーを のみます。I drink my coffee without sugar.
• 会えなくて、残念です。あえなくて、ざんねんです。Shame we couldn't see each other.

To choose, look at the second part. If it's an action you do (deliberately), it's ないで. If it's a feeling, a state or a consequence you undergo, it's なくて.

• 日曜日は どこへも 行かないで、家で ゆっくりしました。にちようびは どこへも いかないで、いえで ゆっくりしました。On Sunday, instead of going out, I took it easy at home.
• 道が わからなくて、困りました。みちが わからなくて、こまりました。I couldn't find the way, and I was stuck.

As with the causal て (previous point), the second part after なくて can't be an intention or an order. And ないで can't express a cause: “食べないで おなかが すいた” doesn't work; say 食べなくて… or, better, 食べなかったので.

• 寝ないで 勉強しました。ねないで べんきょうしました。I studied without sleeping. (manner)
• 寝られなくて、疲れて います。ねられなくて、つかれて います。I couldn't sleep, so I'm tired. (cause)